题目内容
已知f（x）=x3+ax2+3x-9在x=-3处取得极值．
（1）求a值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．
（1）求a值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．
考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性
专题：计算题,导数的综合应用
分析：（1）求出导数，由题设得，f'（-3）=0，解出a的值，注意检验．
（2）由（1）得导数，令f'（x）＞0，解出不等式，注意两区间不能用并集符号．
（2）由（1）得导数，令f'（x）＞0，解出不等式，注意两区间不能用并集符号．
解答：
解：（1）f（x）=x3+ax2+3x-9的导数为：
f′（x）=3x2+2ax+3，由题设得，f'（-3）=0，
即27-6a+3=0，解得a=5．
即有f′（x）=3x2+10x+3，
检验：由于判别式为100-36＞0，故成立，
故a=5；
（2）由（1）知f′（x）=3x2+10x+3，
解不等式3x2+10x+3＞0
得x＜-3 或 x＞-
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-3），（-
，+∞）．
f′（x）=3x2+2ax+3，由题设得，f'（-3）=0，
即27-6a+3=0，解得a=5．
即有f′（x）=3x2+10x+3，
检验：由于判别式为100-36＞0，故成立，
故a=5；
（2）由（1）知f′（x）=3x2+10x+3，
解不等式3x2+10x+3＞0
得x＜-3 或 x＞-
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∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-3），（-
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点评：本题考查导数的运用：求极值和求单调区间，考查运算能力，属于基础题．
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