Question

12．若关于x的不等式2x³+3x²-12x+4≤$\frac{4m{e}^{x}+2x}{{e}^{x}}$在[-2，+∞）上有解，则实数m 的最小值为（　　）

• A． -$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{e}$
• B． -$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2e}$
• C． -$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{e}$
• D． -$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{2e}$

Answer 1

分析 分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可

解答 解：2x³+3x²-12x+4≤$\frac{4m{e}^{x}+2x}{{e}^{x}}$在[-2，+∞]上有解，
∴4m≥2x³+3x²-12x+4-$\frac{2x}{{e}^{x}}$，
设f（x）=2x³+3x²-12x+4-$\frac{2x}{{e}^{x}}$，
∴f′（x）=6x²+6x-12+2×$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，
令f′（x）=0，解得x=1，
故当x∈[-2，1）时，f′（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在[-2，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
∴f（x）min=f（1）=2+3-12+4-$\frac{2}{e}$=-3-$\frac{2}{e}$，
∴m≥-$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2e}$，
故选：B

点评 本题考查了不等式的化简与应用，同时考查了导数的综合应用及存在性问题的应用．