Question

2．如图，△ABO是以∠O=120°为顶点的等腰三角形，点P在以AB为直径的半圆内（包括边界），若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$（x、y∈R），则x²+y²的取值范围是[$\frac{1}{2}$，2+$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 两边平方，得出|OP|²关于x，y的表达式，根据|OP|的范围得出不等式组，利用基本不等式的性质得出结论．

解答 解：设OA=OB=1，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=-cos120°=-$\frac{1}{2}$，AB=$\sqrt{3}$，O到AB的距离为$\frac{1}{2}$，
∵$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，∴${\overrightarrow{OP}}^{2}$=x²${\overrightarrow{OA}}^{2}$+y²${\overrightarrow{OB}}^{2}$+2xy$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x²+y²-xy，
∵P在以AB为直径的半圆内（包括边界），
∴$\frac{1}{2}$≤OP≤$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{4}$≤x²+y²-xy≤1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由图可知x＞0，y＞0，∴xy≤$\frac{1}{2}$（x²+y²），
∴$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{2}$（x²+y²）≤1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$≤x²+y²≤2+$\sqrt{3}$．
故答案为：[$\frac{1}{2}$，2+$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，数量积运算，属于中档题．