Question

已知函数．
（1）当时，求在最小值；
（2）若存在单调递减区间，求的取值范围；
（3）求证：（）．

Answer 1

（1）1   （2）

试题分析：（1）先求函数的导数，利用导数求出函数f（x）的单调区间，即可可求在最小值；（2）先求导，由有正数解得到含有参数a的关于x的不等式有的解,在分类求出满足条件的a，最后求并集即可.（3）用数学归纳法证明.
试题解析：（1），定义域为．
 
在上是增函数．
.                               4分
（2）因为
因为若存在单调递减区间，所以有正数解.
即有的解 
当时，明显成立 .
②当时，开口向下的抛物线，总有的解；
③当时，开口向上的抛物线，
即方程有正根.
因为，
所以方程有两正根.
当时，；
，解得．
综合①②③知：．
或： 
有的解 
即 
即  
，
（3）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．
令，则有，   ．
，
．                                 14分
(法二)当时，．
，，即时命题成立．
设当时，命题成立，即 ．
时，．
根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．
令，则有，
则有，即时命题也成立．
因此，由数学归纳法可知不等式成立．