Question

已知是的一个极值点.
（Ⅰ） 求的值；  
（Ⅱ） 求函数的单调递减区间；
（Ⅲ）设，试问过点可作多少条直线与曲线相切？请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）3；（Ⅱ）；（Ⅲ）2条.

试题分析：（Ⅰ）先对原函数求导，则，即得的值；（Ⅱ）求当时的的取值范围，就得函数的单调减区间；（Ⅲ）易知，设过点（2，5）与曲线相切的切点为，
所以，，令，利用导数求函数的单调区间及极值，可得与轴的交点个数，从而得结论.
试题解析：（I）因为是的一个极值点，所，
经检验，适合题意，所以.                                  3分
（II）定义域为，，
所以函数的单调递减区间为                                              6分
（III），设过点（2，5）与曲线相切的切点为
所以，               9分
令，所在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以与x轴有两个交点，
所以过点可作2条直线与曲线相切.                                            12分