Question

设函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；
（3）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）当时，函数在上单调递增，当时，函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为；（2）；（3）.

试题分析：本题综合考查函数与导数及运用导数求单调区间、最值等数学知识和方法，突出考查综合运用数学知识和方法，考查分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想和转化思想.第一问，先写出解析式，求，讨论参数的正负，解不等式，单调递增，单调递减；第二问，先将已知条件进行转换，等价于，所以本问考查函数的最值，对求导，令得出根，将所给定义域断开列表，判断单调性，求出最值；第三问，将问题转化为，利用第一问的结论，所以，即恒成立，即恒成立，所以本问的关键是求的最大值.
试题解析：（1），    ，
①当时，∵,，函数在上单调递增，
②当时，由得，函数的单调递增区间为
 得，函数的单调递减区间为     5分
（2）存在，使得成立
等价于：，                     7分
考察，，

			0
		递减	极（最）小值	递增

由上表可知：，
，                 9分
所以满足条件的最大整数；                      10分
（3）当时，因为，对任意的，都有成立，
，即恒成立，
等价于恒成立，
记，,所以,
,∵，时,时，,
在区间上递增，在上递减.
所以                                    12分