Question

18．设f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，若f（$\frac{1}{2}$）=0，△ABC的内角A满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{2π}{3}$，π）．

Answer 1

分析 根据题意，由函数在（0，+∞）上单调递增，且（$\frac{1}{2}$）=0，分析可得0＜x＜$\frac{1}{2}$时，f（x）＜0，当x＞$\frac{1}{2}$时，f（x）＞0，进而结合函数的奇偶性可得当-$\frac{1}{2}$＜x＜0时，f（x）＞0，当x＜-$\frac{1}{2}$时，f（x）＜0，综合可得f（x）＜0的解集，又由f（cosA）＜0，可得cosA＜-$\frac{1}{2}$或0＜cosA＜$\frac{1}{2}$，解可得A的范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，且（$\frac{1}{2}$）=0，
则有当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，f（x）＜0，当x＞$\frac{1}{2}$时，f（x）＞0，
又由f（x）是定义在R上的奇函数，则有当-$\frac{1}{2}$＜x＜0时，f（x）＞0，当x＜-$\frac{1}{2}$时，f（x）＜0，
综合可得当x＜-$\frac{1}{2}$或0＜x＜$\frac{1}{2}$时，f（x）＜0，
又由△ABC的内角A满足f（cosA）＜0，
则有cosA＜-$\frac{1}{2}$或0＜cosA＜$\frac{1}{2}$，
解可得$\frac{π}{3}$＜A＜$\frac{π}{2}$或$\frac{2π}{3}$＜A＜π；
即A∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{2π}{3}$，π）；
故答案为：（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{2π}{3}$，π）．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的应用，关键是依据题意，分析得到f（x）＜0的解集．