Question

13．设S_n是数列的前n项和，已知a₁=3，a_n+1=2S_n+3（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用数列的递推关系式推出数列是等比数列，然后求解通项公式．
（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求和，求解即可．

解答 解：（1）当n≥2时，由a_n+1=2S_n+3，得a_n=2S_n-1+3，（1分）
两式相减，得a_n+1-a_n=2s_n-2s_n-1=2a_n，∴a_n+1=3a_n，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=3$，（3分）
当n=1时，a₁=3，a₂=2S₁+3=9，则$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=3$．
∴数列{a_n}是以3为首项，3 为公比的等比数列，（5分）
∴a_n=3ⁿ．（6分）
（2）由（1）得b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）3ⁿ．
∴T_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）3ⁿ，
3T_n=1×3²+3×3³+5×3⁴+…+（2n-1）3ⁿ⁺¹，
错位相减得：-2T_n=1×3+2×3²+2×3³+…+2×3ⁿ-（2n-1）3ⁿ⁺¹，（9分）
=-6-（2n-2）3ⁿ⁺¹                      （11分）
∴${T_n}=（n-1）×{3^{n+1}}+3$．           （12分）

点评 本题考查数列的递推关系式定义域，通项公式的求法，数列求和的方法，考查计算能力．