Question

13．若$α∈（0，\frac{π}{2}）$，且${sin^2}α+cos2α=\frac{1}{4}$，则tanα的值等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． 1
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函数间的基本关系化简后，得到关于sinα的方程，根据α的度数，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函数值，由α的范围即可得到α的度数，利用α的度数求出tanα即可．

解答 解：由cos2α=1-2sin²α，得到sin²α+cos2α=1-sin²α=$\frac{1}{4}$，
则sin²α=$\frac{3}{4}$，又α∈（0，$\frac{π}{2}$），
所以sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则α=$\frac{π}{3}$，
所以tanα=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，学生做题时应注意角度的范围，属于基础题．