Question

已知函数f（x）=cos²x-cosx+b，x∈R．
（1）若f（

π

2

）=1，求函数f（x）的解析式；
（2）若x∈[0，

π

3

]时，f（x）的图象与x轴有交点，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用f（

π

2

）=1和函数解析式求得b．
（2）利用配方法对函数解析式整理，根据x的范围，确定cosx的范围，进而二次函数的性质建立不等式组求得b的范围．

解答： 解：（1）f（

π

2

）=cos²

π

2

-cos

π

2

+b=1，求得b=1．
（2）由知f（x）=cos²

π

2

-cos

π

2

+b
=（cosx-

1

2

）²+b-

1

4

，
∵x∈[0，

π

3

]，
∴

1

2

≤cosx≤1，
要使f（x）的图象与x轴有交点，需

b- 1 4 ≤0 (1- 1 2 )2+b- 1 4 ≥0

，
解得0≤b≤

1

4

．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，解不等式．考查了学生基础知识的综合运用．