题目内容

已知数列{an}满足an+1+an=4n-3（n∈N*）．
（1）若数列{an}是等差数列，求其公差d的值；
（2）若数列{an}的首项a1=3，求数列{an}的前100项的和．
考点：数列的求和,数列递推式
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）因为数列{an}是等差数列，所以an+1+an=4n-3（a1+nd）+[a1+（n-1）d]=2nd+（2a1-d）=4n-3，由此能求出公差d的值．
（2）由已知条件推导出数列{a2n-1}是首项为a1，公差为4的等差数列，数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列，从而得到an=
2n+1，n为奇数
2n-6，n为偶数
，由此能求出数列an的前100项的和．
解答： 解：（1）因为数列{an}是等差数列，
所以an=a1+（n-1）d，an+1=a1+nd，…1′
由an+1+an=4n-3（a1+nd）+[a1+（n-1）d]=2nd+（2a1-d）=4n-3．…2′
所以2d=4，2a1-d=3，解得d=2，a1=-
1
2

故其公差d的值为2．…5′
（2）由an+1+an=4n-3，n∈N*，得an+2+an+1=4n+1，n∈N*，
两式相减，得an+2-an=4，n∈N*．…6′
所以数列{a2n-1}是首项为a1，公差为4的等差数列；…7′
数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列．…8′
又由a2+a1=1，a1=3，得a2=-2．
所以a2n-1=3+4（n-1）=4n-1，a2n=-2+4（n-1）=4n-6，
故an=
2n+1，n为奇数
2n-6，n为偶数
．…11′
所以数列an的前100项的和为
S100=
50
2
(a1+a99)+
50
2
(a2+a100)
=25（3+199）+25（-2+194）=9850．
点评：本题考查等差数列的公差的求法，考查数列的前100项的和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
P（x0，y0）是双曲线E：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上一点，M，N分别是双曲线E关于原点对称的两点且两者的横坐标不与|x0|相等．
（1）求证：直线PM，PN的斜率之积为为定值，并写出这个定值；　
（2）若直线PM，PN的斜率之积为
1
5
，求双曲线的离心率；
（3）在问题（2）的假定下，过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足
OC
=λ
OA
+
OB
，求λ的值．
已知向量
a
=（cos
3
2
x，sin
3
2
x），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），且x∈[0，
π
2
]．
（1）求
a
•
b
及|
a
+
b
|
（2）若f（x）=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|的最小值是-
3
2
，求实数λ的值；
（3）设g（x）=sin（x+
π
3
），若方程3[g（x）]2-g（x）+m=0在x∈（-
π
3
，
2π
3
）内有两个不同的解，求实数m的取值范围．
根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{an}未知数：
（1）a1=
5
6
，d=-
1
6
，Sn=-5，求n及an； 
（2）d=2，n=15，an=-10，求a1及Sn．
已知函数f（x）=cos2x-cosx+b，x∈R．
（1）若f（
π
2
）=1，求函数f（x）的解析式；
（2）若x∈[0，
π
3
]时，f（x）的图象与x轴有交点，求实数b的取值范围．
如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是棱DD1、CD、AD的中点．
（1）求证：平面MNP∥平面A1C1B．
（2）将正方体沿平面A1C1B截出一个三棱锥B1-A1C1B，求次棱锥的体积与剩下的几何体体积的比．
（3）求直线B1D与直线MN所成的角．
函数f（x）=sin（2x+φ），（|φ|＜
π
2
）向左平移
π
6
个单位后是奇函数．
（1）求φ
（2）函数f（x）在[0，
π
2
]上的最大值和最小值．
已知函数f（x）=x2ex-1-
1
3
x3-x2，
（1）讨论函数f（x）的单调性，
（2）设g（x）=
2
3
x3-x2，求证：对任意实数x，都有f（x）≥g（x）
a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则a9+b9=
 
．

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