题目内容
已知函数f（x）=x3-2ax2+x+1，
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为4，求实数a的值；
（2）若函数g（x）=f′（x）在区间（1，2）上存在零点，求a的取值范围．
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为4，求实数a的值；
（2）若函数g（x）=f′（x）在区间（1，2）上存在零点，求a的取值范围．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值
专题：导数的综合应用
分析：（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求实数a的值；
（2）若函数g（x）=f′（x）在区间（1，2）上存在零点，求a的取值范围．
（2）若函数g（x）=f′（x）在区间（1，2）上存在零点，求a的取值范围．
解答：
解：（1）∵f（x）=x3-2ax2+x+1，
∴f′（x）=3x2-4ax+1，
∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为4，
∴f′（1）=3-4a+1=4，解得a=0．
（2）g（x）=f′（x）=3x2-4ax+1，
若g（x）=f′（x）在区间（1，2）上存在零点，
即3x2-4ax+1=0在（1，2）上有解，
即∵g（0）=1＞0，
∴若对称轴-
=
＜0，则函数g（x）在（1，2）上单调递增，不满足条件，
若对称轴-
=
＞0，即a＞0，
要使g（x）=f′（x）在区间（1，2）上存在零点，
则g（1）g（2）＜0，即（4-4a）（13-8a）＜0，解得1＜a＜
，
即 a∈(1，
)．
∴f′（x）=3x2-4ax+1，
∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为4，
∴f′（1）=3-4a+1=4，解得a=0．
（2）g（x）=f′（x）=3x2-4ax+1，
若g（x）=f′（x）在区间（1，2）上存在零点，
即3x2-4ax+1=0在（1，2）上有解，
即∵g（0）=1＞0，
∴若对称轴-
| -4a |
| 2×3 |
| 2a |
| 3 |
若对称轴-
| -4a |
| 2×3 |
| 2a |
| 3 |
要使g（x）=f′（x）在区间（1，2）上存在零点，
则g（1）g（2）＜0，即（4-4a）（13-8a）＜0，解得1＜a＜
| 13 |
| 8 |
即 a∈(1，
| 13 |
| 8 |
点评：本题主要考查导数的几何意义，以及函数根的存在性条件的应用，综合考查函数的性质．
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| A、第一象限 | B、第二象限 |
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，
]，则函数y=sin4x-cos4x的最小值是（ ）
| π |
| 12 |
| π |
| 3 |
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B、-
| ||||
C、
| ||||
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| 1 |
| 2014 |
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