题目内容

已知函数f（x）=ax3-3x2，a∈R．
（1）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，求a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（1）求出原函数的导函数，由导函数的符号确定原函数的单调区间．
（2）根据函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，转化为f′（x）=3ax2-6x≤0在[0，1]上恒成立，即可求出a的取值范围．
解答： 解：（1）若a＞0，
∵f（x）=ax3-3x2，
∴f′（x）=3ax2-6x=3x（ax-2）=3ax（x-
2
a
）．
当x∈（-∞，0）∪（
2
a
，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（0，
2
a
）时，f′（x）＜0
故函数的减区间为∈（0，
2
a
），增区间为（-∞，0），（
2
a
，+∞）；
（2）若函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，
则f′（x）=3ax2-6x≤0在[0，1]上恒成立，
即3ax2≤6x在[0，1]上恒成立，
当x=0时，满足条件，
当x≠0时，不等式等价为a≤
6x
3x2
=
2
x
，
∵0＜x≤2，∴
2
x
≥1，
则a≤1．
点评：本题考查了函数单调性和导数之间的关系，考查学生的运算能力．
练习册系列答案
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已知f（x）=（
1
2014
）x-log2014x，实数a、b、c满足f（a）f（b）f（c）＜0，且0＜a＜b＜c，若实数x0是函数f（x）的一个零点，则下列不等式中，不可能成立的是（　　）
A、x0＜a
B、x0＞b
C、x0＜c
D、x0＞c
已知函数f（x）=a（x2+1）+lnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若对任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＞a2成立，求实数m的取值范围．
已知向量
a
=（cos
3
2
x，sin
3
2
x），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），且x∈[0，
π
2
]．
（1）求
a
•
b
及|
a
+
b
|
（2）若f（x）=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|的最小值是-
3
2
，求实数λ的值；
（3）设g（x）=sin（x+
π
3
），若方程3[g（x）]2-g（x）+m=0在x∈（-
π
3
，
2π
3
）内有两个不同的解，求实数m的取值范围．
已知函数g（x）=
2
x
+lnx，f（x）=mx-
m-2
x
-lnx，m∈R．
（1）求函数g（x）的极值点；
（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（3）设h（x）=
2e
x
，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）-g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范围．
根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{an}未知数：
（1）a1=
5
6
，d=-
1
6
，Sn=-5，求n及an； 
（2）d=2，n=15，an=-10，求a1及Sn．
已知函数f（x）=cos2x-cosx+b，x∈R．
（1）若f（
π
2
）=1，求函数f（x）的解析式；
（2）若x∈[0，
π
3
]时，f（x）的图象与x轴有交点，求实数b的取值范围．
函数f（x）=sin（2x+φ），（|φ|＜
π
2
）向左平移
π
6
个单位后是奇函数．
（1）求φ
（2）函数f（x）在[0，
π
2
]上的最大值和最小值．
若（x2+1）（x-3）9=a0+a1（x-2）2+a3（x-2）3+…+a11（x-2）11，则a1+a2+a3+…+a11的值为
 
．

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