Question

3．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：a₃=6，a₅+a₇=24．
（Ⅰ）求等差数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的前P项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过设等差数列{a_n}的首项为a₁、公差为d，联立a₃=6、a₅+a₇=24可知首项、公差，进而可得结论；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）裂项可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，进而并项相加即得结论．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的首项为a₁、公差为d，
∵a₃=6，a₅+a₇=24，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=6\\（{{a_1}+4d}）+（{{a_1}+6d}）=24\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}d=2\\{a_1}=2.\end{array}\right.$，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：${S_n}=\frac{{n（{a_1}+{a_n}）}}{2}=\frac{n（2+2n）}{2}=n（n+1）$，
所以${T_n}=\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{{{S_{n-1}}}}+\frac{1}{S_n}=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{（n-1）n}+\frac{1}{n（n+1）}$
=$（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+…+（{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}}）+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$
=$1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．