Question

在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为A_n，令a_n=log₂A_n，n∈N^*．
（1）数列{a_n}的通项公式为a_n=

 

；
（2）T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,等比数列的性质

专题：三角函数的求值

分析：（1）设在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列为{b_n}，则利用等比数列的定义、通项公式求得A_n的通项公式．
（2）由（1）可得a_n=

n+2

2

，根据tan1=tan[（n+1）-1]=

tan(n+1)-tann

1+tan(n+1)tann

，可得tan（n+1）tann=

tan(n+1)-tann

tan1

-1，由此化简T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2 =（

tan3-tan2

tan1

-1）+（

tan4-tan3

tan1

-1）+（

tan5-tan4

tan1

-1）+…+（

tan(n+2)-tan(n+1)

tan1

-1），可得结果．

解答： 解：（1）设在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列为{b_n}，
则 b₁=1，b_n+2=2=1×qⁿ⁺¹，即 qⁿ⁺¹=2，q为此等比数列的公比．
∴A_n=1•q•q²•q³…qⁿ⁺¹=q^{1+2+3+…+（n+1）}=q

(n+1)(n+2)

2

=( qn+1)

n+2

2

=2

n+2

2

，
∴a_n=log₂A_n=

n+2

2

，
故答案为：

n+2

2

．
（2）由（1）可得a_n=log₂A_n=

n+2

2

，又tan1=tan[（n+1）-1]=

tan(n+1)-tann

1+tan(n+1)tann

，∴tan（n+1）tann=

tan(n+1)-tann

tan1

-1，
∴tana_2n•tana_2n+2=tan（n+1）tan（n+2）═

tan(n+2)-tan(n+1)

tan1

-1，n∈N^*．
T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2 =（

tan3-tan2

tan1

-1）+（

tan4-tan3

tan1

-1）+（

tan5-tan4

tan1

-1）+…+（

tan(n+2)-tan(n+1)

tan1

-1）
=

tan(n+2)-tan2

tan1

-n，n∈N^*，
故答案为：

tan(n+2)-tan2

tan1

-n．

点评：本题主要考查等比数列的定义、通项公式，对数的运算性质，两角和的正切公式的应用，属于中档题．