题目内容

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点是F1（-c，0）、F2（c，0），M是椭圆上一点，且
F1M
•
F2M
=0，则离心率e的取值范围是 ______．
设点M的坐标为（x，y），则
F1M
=（x+c，y），
F2M
=（x-c，y）．
由
F1M
•
F2M
=0，得
x2-c2+y2=0．①
又由点M在椭圆上，得
y2=b-
b2x2
a2
，代入①，解得
x2=a2-
a2b2
c2
．
∵0≤x2≤a2，
∴0≤a2-
a2b2
c2
≤a2，
即0≤
2c2-a2
c2
≤1，
0≤2-
1
e2
≤1．
∵e＞0，
解得
2
2
≤e≤1．
又∵e＜1，
∴
2
2
≤e＜1．
故答案为：[
2
2
，1）
练习册系列答案
相关题目
过直线l：y=x+9上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为F1（-3，0），F2（3，0），则椭圆的方程为（　　）
A．
x2
12
+
y2
3
=1		B．
x2
25
+
y2
16
=1
C．
x2
45
+
y2
36
=1		D．
x2
81
+
y2
72
=1
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点是F1和F2，长轴是A1A2，P是椭圆上异于A1、A2的点，考虑如下四个命题：
①|PF1|-|A1F1|=|A1F2|-|PF2|；
②a-c＜|PF1|＜a+c；
③若b越接近于a，则离心率越接近于1；
④直线PA1与PA2的斜率之积等于-
b2
a2
．
其中正确的命题是（　　）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①④
已知椭圆
x2
2
+
y2
3
=1，F1、F2是它的焦点，AB是过F1的弦，则△ABF2的周长为______．
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两焦点为F1、F2，若椭圆上存在一点Q，使∠F1QF2=120°，椭圆离心率e的取值范围为（　　）
A．
3
2
≤e＜1		B．
6
3
＜e＜1		C．0＜e≤
6
3
D．
1
2
＜e＜1
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右两个焦点分别为F1，F2，短轴的上端点为B，短轴上的两个三等分点为P，Q，且F1PF2Q为正方形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过点B作此正方形的外接圆的切线在x轴上的一个截距为-
3
2
4
，求此椭圆方程．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），A为左顶点，B为短轴一顶点，F为右焦点且AB⊥BF，则这个椭圆的离心率等于______．
已知椭圆的中心在原点，其中一个焦点为F1（
3
，0），且该焦点于长轴上较近的端点距离为2-
3
．
（1）示此椭圆的标准方程及离心率；
（2）设F2是椭圆另一个焦点，若P是该椭圆上一个动点，求
PF1
•
PF2
的取值范围．
若双曲线的离心率为2,则等于（　　）
A．B．C．D．1

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