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已知椭圆的中心在原点,其中一个焦点为F
1
(
3
,0),且该焦点于长轴上较近的端点距离为2-
3
.
(1)示此椭圆的标准方程及离心率;
(2)设F
2
是椭圆另一个焦点,若P是该椭圆上一个动点,求
PF
1
•
PF
2
的取值范围.
试题答案
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(1)设所求的椭圆方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0),
则
c=
3
3
a-c=2-
3
a
2
=
b
2
+
c
2
解得a=2,b=1,c=
3
故所求椭圆的方程为
x
2
4
+
y
2
=1
,离心率e=
c
a
=
3
2
(2)由(1)知F
1
(-
3
,0),设P(x,y),
则
PF
1
•
PF
2
=(-
3
-x,-y)•(
3
-x,-y)=x
2
+y
2
-3=
1
4
(3x
2
-8)
∵x∈[-2,2],∴0≤x
2
≤4,
故
PF
1
•
PF
2
∈[-2,1]
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设F
1
,F
2
分别为椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的左、右焦点,过F
2
的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,F
1
到直线l的距离为
2
3
.
(Ⅰ)求椭圆C的焦距;
(Ⅱ)如果
A
F
2
=2
F
2
B
,求椭圆C的方程.
椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的两个焦点是F
1
(-c,0)、F
2
(c,0),M是椭圆上一点,且
F
1
M
•
F
2
M
=0,则离心率e的取值范围是 ______.
“m=3”是“椭圆
x
2
4
+
y
2
m
=1
焦距为2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
已知F
1
,F
2
分别是椭圆的左,右焦点,现以F
2
为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过F
1
的直线MF
1
是圆F
2
的切线,则椭圆的离心率为( )
A.
3
-1
B.2-
3
C.
2
2
D.
3
2
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为e=
2
2
,左、右焦点分别为F
1
、F
2
,点P的坐标为(2,
3
),且F
2
在线段PF
1
的中垂线上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)如果圆E:(x-
1
2
)
2
+y
2
=r
2
被椭圆C所覆盖,求圆的半径r的最大值.
设P为椭圆
x
2
16
+
y
2
9
=1上的动点,则P到直线x+y-6=0的最小距离为( )
A.1
B.2
C.
2
2
D.
2
已知F
1
、F
2
分别是双曲线的左、右焦点,点P为双曲线
右支上的一点,满足
(O为坐标原点),且
,则该双曲线离心率为
.
已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,它的一条渐近线与x轴的夹角为α,且
<α<
,则双曲线的离心率的取值范围是________.
关 闭
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