Question

13．已知函数f（x）=（a+2）lnx+$\frac{1}{2}$x²-2ax．
（1）当a=1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=3lnx+$\frac{1}{2}$x²-2x，（x＞0），
f′（x）=$\frac{3}{x}$+x-2，f′（1）=2，f（1）=$\frac{3}{2}$，
故切线方程是：y-$\frac{3}{2}$=2（x-1），
即：4x-2y-1=0；
（2）f′（x）=$\frac{{x}^{2}-2ax+（a+2）}{x}$，（x＞0），
令h（x）=x²-2ax+（a+2），（x＞0），
△=4${（a-\frac{1}{2}）}^{2}-9$，
令h（x）=0，解得：x=a±$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$，
①a＞2时，△＞0，
x₁=a-$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$＞0，
∴在（0，a-$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$）上，h（x）＞0，
在（a-$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$，a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$）上，h（x）＜0，
在（a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$，+∞）上，h（x）＞0，
∴f（x）在（0，a-$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$）递增，在（a-$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$，a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$）递减，在（a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$，+∞）递增；
②-1≤a≤2时，△≤0，h（x）≥0在R恒成立，
故f（x）在（0，+∞）递增；
③-2≤a＜-1时，△＞0，
x₁=a-$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$＜0，x₂=a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$≤0，
∴h（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
故f（x）在（0，+∞）递增；
④a＜-2时，△＞0，
x₁=a-$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$＜0，x₂=a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$＞0，
∴在（0，a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$）上，h（x）＜0，在（a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$，+∞）上，h（x）＞0，
故f（x）在（0，a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$）递减，在（a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$，+∞）递增；
综上，a≥2时，f（x）在（0，a-$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$）递增，在（a-$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$，a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$）递减，在（a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$，+∞）递增；
-2≤a＜2时，f（x）在（0，+∞）递增，
a＜-2时，f（x）在（0，a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$）递减，在（a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$，+∞）递增．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．