Question

14．已知x＞0，y＞0，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$，x+2y＞m²-2m恒成立，则m的取值范围是（　　）

• A． [-6，4]
• B． [-4，6]
• C． （-4，6）
• D． （-6，4）

Answer 1

分析 利用基本不等式求出xy的范围，从而得出x+2y的范围，根据不等式恒成立得出关于m的一元二次不等式，从而解出m的范围．

解答 解：∵$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$≥2$\sqrt{\frac{2}{xy}}$，即$\frac{1}{3}$≥2$\sqrt{\frac{2}{xy}}$，解得xy≥72，
∵$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$，∴$\frac{6}{x}+\frac{3}{y}=1$，即3x+6y=xy，
∴x+2y=$\frac{1}{3}$xy≥24，
∴m²-2m＜24恒成立，
解不等式m²-2m-24＜0得-4＜m＜6．
故选：C．

点评 本题考查了不等式的性质，一元二次不等式的解法，属于中档题．