Question

4．设x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则$\frac{3}{a}$$+\frac{2}{b}$的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 12
• D． 24

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用向量数量积的公式进行转化，利用线性规划求出最优解，建立a，b的关系，结合基本不等式进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
平移直线y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$，由图象知当直线经过点A时，
y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$时，直线的截距最大，此时z最大为12，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$，即A（4，6），
此时4a+6b=12，
即$\frac{a}{3}$+$\frac{b}{2}$=1，
∴$\frac{3}{a}$$+\frac{2}{b}$=（$\frac{3}{a}$$+\frac{2}{b}$）（$\frac{a}{3}$+$\frac{b}{2}$）=1+1+$\frac{3b}{2a}$+$\frac{2a}{3b}$≥2+2=4，
当且仅当$\frac{3b}{2a}$=$\frac{2a}{3b}$，即9b²=4a²，时取等号，
则$\frac{3}{a}$$+\frac{2}{b}$的最小值为4，
故选：A．

点评 本题主要考查线性规划的应用以及利用基本不等式进行求最值问题，利用线性规划问题，作出图象，利用数形结合是解决本题的关键．