Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=4a_n-1．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n•a_n+1-2，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
（II0利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵2S_n=4a_n-1
∴n=1时，2S₁=4a₁-1，即2a₁=4a₁-1，解得${a_1}=\frac{1}{2}$；
n≥2时，2S_n=4a_n-1…①
2S_n-1=4a_n-1-1…②
由①-②得，所以a_n=2a_n-1
∴数列{a_n}是首项为$\frac{1}{2}$，公比为2的等比数列，即${a_n}=\frac{1}{2}×{2^{n-1}}={2^{n-2}}$…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${b_n}={a_n}•{a_{n+1}}-2={2^{2n-3}}-2$…8分
∴${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}={2^{-1}}+{2^1}+{2^3}+…+{2^{2n-3}}-2n$=$\frac{{{2^{-1}}×（1-{4^n}）}}{1-4}-2n$=$\frac{1}{6}（{4^n}-1）-2n$…12分．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．