题目内容
已知函数f（x）=lnx+ax2（a∈R）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若xf′（x）-f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若xf′（x）-f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（1）求函数的定义域，利用函数单调性和导数之间的关系即可求出函数的单调区间，
（2）化简不等式，分离参数，构造函数，利用导数求出函数最大值，问题得以解决．
（2）化简不等式，分离参数，构造函数，利用导数求出函数最大值，问题得以解决．
解答：
解：（1）要使函数有意义，则x＞0，
函数的导数f′（x）=
+2ax=
，
若a≥0，则f'（x）＞0，此时函数单调递增，即增区间为（0，+∞）．
若a＜0，由f′（x）＞0得x＞
，
由f′（x）＜0得0＜x＜
，即此时函数的减区间为（0，
），增区间为（
，+∞），
综上：若a≥0，函数的增区间为（0，+∞）．
若a＜0，函数的减区间为（0，
），增区间为（
，+∞）．
（2）∵xf′（x）-f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴2ax2+1-lnx-ax2＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴a＞
在（0，+∞）上恒成立，
设g（x）=
，
∴g′（x）=
，
由g′（x）＜0得x＞e
，函数单调递减，
由g′（x）＞0得0＜x＜e
，函数单调递增，
∴当x=e
时，函数g（x）有最大值，即g（x）max=g（e
）=
，
∴a＞
函数的导数f′（x）=
| 1 |
| x |
| 2ax2+1 |
| x |
若a≥0，则f'（x）＞0，此时函数单调递增，即增区间为（0，+∞）．
若a＜0，由f′（x）＞0得x＞
| 1 | ||
|
由f′（x）＜0得0＜x＜
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
综上：若a≥0，函数的增区间为（0，+∞）．
若a＜0，函数的减区间为（0，
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
（2）∵xf′（x）-f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴2ax2+1-lnx-ax2＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴a＞
| lnx-1 |
| x2 |
设g（x）=
| lnx-1 |
| x2 |
∴g′（x）=
| 3-2lnx |
| x3 |
由g′（x）＜0得x＞e
| 3 |
| 2 |
由g′（x）＞0得0＜x＜e
| 3 |
| 2 |
∴当x=e
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2e3 |
∴a＞
| 1 |
| 2e3 |
点评：本题主要考查了导数和函数的单调性和最值的关系，以及恒成立问题，分离参数，求最值是常用的方法，属于中档题
练习册系列答案
字词句篇与同步作文达标系列答案
相关题目
已知函数f（x）=x3-ax2+bx+3，若函数f（x）在区间[0，1]上是单调递减函数，则a2+b2的最小值为（ ）
A、
| ||
B、
| ||
| C、2 | ||
| D、1 |
正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为
，则直线BC1与平面AA1B1B所成角的正切值为（ ）
| 3 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
已知函数f（x）的定义域为（-2，2），导函数为f′（x）=x2+2cosx且f（0）=0，则满足f（1+x）+f（x2-x）＞0的实数x的取值范围为（ ）
| A、（-∞，+∞） | ||||
| B、（-1，1） | ||||
C、(-∞，1-
| ||||
D、(-1，1-
|