Question

已知直线l₁：（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0与直线l₂：m²x-

4

3

n²y+4=0．
（1）当实数a，b变化时，求证：直线l₁过定点，并求出这个定点的坐标；
（2）若直线l₂通过直线l₁的定点，求点（m，n）所在曲线C的方程；
（3）在（2）的条件下，设F₁（-1，0），F₂（1，0），P（x₀，0）（x₀＞0），过点P的直线交曲线C于A，B两点（A，B两点都在x轴上方），且

F1A

=3

F2B

，求此直线的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）l₁的方程化为（2x+y+1）a+（x+y-1）b=0，令

2x+y+1=0 x+y-1=0

，解得即可得出．
（2）由l₂过定点（-2，3），代入l₂化简得

m2

2

+n2=1，即可得出．
（3）由

F1A

=3

F2B

，可得F₁A∥F₂B，且|F₁A|=3|F₂B|，可得|PF₁|=3|PF₂|，解出x₀．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用

F1A

=3

F2B

，及其

x 2 1 +2 y 2 1 =2 x 2 2 +2 y 2 2 =2

，解出即可．

解答： （1）证明：l₁的方程化为（2x+y+1）a+（x+y-1）b=0，
令

2x+y+1=0 x+y-1=0

，解得

x=-2 y=3

，
所以定点的坐标为（-2，3）．
（2）解：由l₂过定点（-2，3），代入得-2m²-4n²+4=0，化简得

m2

2

+n2=1，
∴点（m，n）所在曲线C的方程为

x2

2

+y2=1．
（3）解：∵

F1A

=3

F2B

，∴F₁A∥F₂B，且|F₁A|=3|F₂B|，
∴|PF₁|=3|PF₂|，
∴xx₀+1=3（x₀-1），解得x₀=2．
∴P（2，0）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则

F1A

=（x₁+1，y₁），

F2B

=（x₂-1，y₂），
由

F1A

=3

F2B

，得

x1+1=3(x2-1) y1=3y2

，
又由

x 2 1 +2 y 2 1 =2 x 2 2 +2 y 2 2 =2

，
联立解得

x1=0 y1=1

，
∴A（0，1），
∴PA的方程为x+2y-2=0．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线过定点问题、向量共线定理、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．