Question

12．在平面直角坐标系中，把位于直线y=k与直线y=l（k、l均为常数，且k＜l）之间的点所组成的区域（含直线y=k，直线y=l）称为“k⊕l型带状区域”，设f（x）为二次函数，三点（-2，f（-2）+2）、（0，f（0）+2）、（2，f（2）+2）均位于“0⊕4型带状区域”，如果点（t，t+1）位于“-1⊕3型带状区域”，那么，函数y=|f（t）|的最大值为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 设出函数f（x）的解析式，求出|t的范围，用f（-2），f（2），f（0）表示出f（x）的解析式，根据不等式的性质求出其最大值即可．

解答 解：设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
由题意可知|f（-2）|≤2，|f（0）|≤2，|f（2）|≤2，
∵$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=4a-2b+c}\\{f（0）=c}\\{f（2）=4a+2b+c}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{f（2）-f（-2）}{4}}\\{a=\frac{f（2）+f（-2）-2f（0）}{8}}\\{c=f（0）}\end{array}\right.$，
∵-1≤t+1≤3，∴|t|≤2，
∴|f（t）|=|$\frac{f（2）+f（-2）-2f（0）}{8}$t²+$\frac{f（2）-f（-2）}{4}$t+f（0）|
=|$\frac{{t}^{2}-2t}{8}$f（-2）+$\frac{{t}^{2}+2t}{8}$f（2）+$\frac{4-{t}^{2}}{4}$f（0）|，
≤|$\frac{{t}^{2}-2t}{4}$|+|$\frac{{t}^{2}+2t}{4}$|+|$\frac{4-{t}^{2}}{2}$|
=$\frac{1}{4}$|t|（2-t）+$\frac{1}{4}$|t|（t+2）+$\frac{1}{2}$（4-t²）
=-$\frac{1}{2}$t²+|t|+2=-$\frac{1}{2}$（|t|-1）²+$\frac{5}{2}$≤$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查二次函数的性质以及不等式的性质，求函数最值问题，是一道中档题．