Question

3．设函数f（x）=xe^x-ax（a∈R，a为常数），e为自然对数的底数．
（Ⅰ）当f（x）＞0时，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）当a=2时，求使得f（x）+k＞0成立的最小正整数k．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）＞0，可知x（e^x-a）＞0，然后对a分类求得实数x的取值范围；
（Ⅱ）当a=2时，要使f（x）+k＞0恒成立，即xe^x-2x＞-k恒成立．构造函数f（x）=xe^x-2x，利用导数可得存在唯一的x₀∈（0，1），使得当x∈（-∞，x₀）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-∞，x₀）上单调递减；当x∈（x₀，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-∞，x₀）上单调递增．由此可得当x=x₀时，f（x）取最小值．从而使f（x）+k＞0成立的最小正整数k的值为1．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）＞0，可知x（e^x-a）＞0，
当a≤0时，e^x-a＞0，由x（e^x-a）＞0，解得x＞0；
当0＜a≤1时，lna≤0，由x（e^x-a）＞0，解得x＞0或x＜lna；
当a＞1时，lna＞0，由x（e^x-a）＞0，解得x＞lna或x＜0；
（Ⅱ）当a=2时，要使f（x）+k＞0恒成立，即xe^x-2x＞-k恒成立．
令f（x）=xe^x-2x，则f′（x）=h（x）=（x+1）e^x-2，h′（x）=（x+2）e^x．
当x∈（-∞，-2）时，h′（x）＜0，函数h（x）在（-∞，-2）上单调递减；
当x∈（-2，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）在（-2，+∞）上单调递增．
又∵x∈（-∞，-1）时，h（x）＜0，且h（0）=-1＜0，h（1）=2e²-2＞0．
∴存在唯一的x₀∈（0，1），使得$f′（{x}_{0}）=h（{x}_{0}）=（{x}_{0}+1）{e}^{{x}_{0}}-2=0$．
当x∈（-∞，x₀）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-∞，x₀）上单调递减；
当x∈（x₀，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-∞，x₀）上单调递增．
∴当x=x₀时，f（x）取最小值．
f（x₀）=${x}_{0}{e}^{{x}_{0}}-2{x}_{0}=\frac{2{x}_{0}}{{x}_{0}+1}-2{x}_{0}=4-2（{x}_{0}+1+\frac{1}{{x}_{0}+1}）$．
∵x₀∈（0，1），∴f（x₀）∈（-1，0）．
从而使f（x）+k＞0成立的最小正整数k的值为1．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，训练了利用分离参数法求解函数恒成立问题，属中档题．