Question

7．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）离心率为$\frac{1}{2}$，过椭圆上一点P分别作斜率为$\frac{b}{a}，-\frac{b}{a}$的两条直线，这两条直线与x轴分别交于点M，N两点，且|OM|²+|ON|²=8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线PM，PN与椭圆C的另外两个交点分别为Q，R，当点P的横坐标为1时，求△PQR的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$⇒$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．设P（m，n），得M（m-$\frac{2\sqrt{3}}{3}n$，0），N（$\frac{2\sqrt{3}}{3}n$，0），由|OM|²+|ON|²=8．得$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1$．即椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）不妨设P（1，$\frac{3}{2}$），直线PM：$y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$．由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，且x≠1，可得Q（-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．同理得R（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），即可得|QR|=$\sqrt{15}$，直线QR的方程为y=$\frac{1}{2}x$．点P到QR的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，于是△PQR的面积s=$\frac{1}{2}×\sqrt{15}×\frac{2\sqrt{5}}{5}=\sqrt{3}$

解答 解：（Ⅰ）∵e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，⇒$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
设P（m，n），直线PM的方程：y-n=$\frac{\sqrt{3}}{2}（x-m）$，令y=0，得M（m-$\frac{2\sqrt{3}}{3}n$，0）
直线PN：y-n=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-m），令y=0，得N（$\frac{2\sqrt{3}}{3}n$，0），
∵|OM|²+|ON|²=8．∴（m-$\frac{2\sqrt{3}}{3}n$）²+（m+$\frac{2\sqrt{3}}{3}n$）²=8，
化简得：$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1$．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）当x=1时，y=±$\frac{3}{2}$，不妨设P（1，$\frac{3}{2}$）
直线PM：$y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$．直线PN：$y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，且x≠1，可得Q（-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
同理得R（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∴|QR|=$\sqrt{15}$，直线QR的方程为y=$\frac{1}{2}x$．
∴点P到QR的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
于是△PQR的面积s=$\frac{1}{2}×\sqrt{15}×\frac{2\sqrt{5}}{5}=\sqrt{3}$

点评 本题考查了椭圆的方程，椭圆与直线的位置关系，考查了运算能力及转化思想，属于中档题．