Question

2．数列{a_n}满足a_n+5a_n+1=36n+18，n∈N^*，且a₁=4．
（1）写出{a_n}的前3项，并猜想其通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）运用代入计算，可得{a_n}的前3项，猜想a_n=6n-2，n∈N^*；
（2）运用数学归纳法证明，验证n=1时，结论成立；假设n=k，k∈N⁺时，猜想成立，即有a_k=6k-2，再证n=k+1时，结论也成立，注意运用已知条件和假设，化简整理即可得证．

解答 解：（1）由a_n+5a_n+1=36n+18，n∈N^*，且a₁=4，
可得a₁+5a₂=36+18=54，
即有a₂=10，
由a₂+5a₃=72+18=90，
可得a₃=16，
猜想a_n=6n-2，n∈N^*；
（2）证明：①当n=1时，a₁=4=6×1-2成立；
②假设n=k，k∈N⁺时，猜想成立，即有a_k=6k-2，
由a_k+5a_k+1=36k+18，及a_k=6k-2，
即5a_k+1=36k+18-6k+2=30k+20，
得a_k+1=6k+4=6（k+1）-2，即当n=k+1时猜想成立，
由①②可知，a_n=6n-2对一切正整数n均成立．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用归纳猜想和数学归纳法的证明，由n=k+1运用n=k的假设是证明的关键，考查运算能力，属于中档题．