Question

14．已知函数f（x）=（ax²+2x）e^x在[0，2]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，令g（x）=ax²+2（a+1）x+2，问题转化为g（x）≥0在[0，2]恒成立即可，分a=0和a≠0两种情况讨论，

解答 解：由f（x）=（ax²+2x）e^x，得
f′（x）=（2ax+2）e^x+（ax²+2x）e^x=[ax²+2（a+1）x+2]e^x，
（1）当a=0时，f′（x）=2（x+1）e^x，f′（x）＞0在[0，2]上恒成立，
故a=0符合要求；
（2）当a≠0时，令g（x）=ax²+2（a+1）x+2，
因为△=4（a+1）²-4a=4a²+4a+1=（2a+1）²≥0，
①a=-$\frac{1}{2}$时，△=0，g（x）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2，
f′（x）＞0在[0，2]恒成立，
∴a=-$\frac{1}{2}$符合要求；
②a≠-$\frac{1}{2}$时，△＞0，
∴g（x）有两个不相等的实数根x₁，x₂，不妨设x₁＞x₂，
因此f（x）有极大值又有极小值．
若a＞0，g（x）的对称轴x=-$\frac{a+1}{a}$＜0，g（0）=2＞0，
∴g（x）＞0在[0，2]恒成立，
若-$\frac{1}{2}$＜a＜0，对称轴x=-$\frac{a+1}{a}$＞1，
g（0）=2，g（2）=8a+6＞2＞0，
∴g（x）＞0在[0，2]恒成立，
∴-$\frac{1}{2}$＜a＜0符合要求；
a＜-$\frac{1}{2}$时，令g（2）=8a+6≥0，解得：a≥-$\frac{3}{4}$，
故-$\frac{3}{4}$≤a＜-$\frac{1}{2}$时，g（x）≥0在[0，2]恒成立，
a＜-$\frac{3}{4}$时，g（2）＜0，g（0）=2＞0，
故f（x）在[-1，1]上不单调，
综上，a≥-$\frac{3}{4}$时，f（x）在[0，2]上单调递增．

点评 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了方程的根与二次函数的图象之间的关系，属中档题．