Question

2．讨论函数f（x）=（a-1）lnx+ax²+1的单调性．

Answer 1

分析 先求出函数的定义域，然后对函数f（x）进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增、导函数小于0时原函数单调递减对a分3种情况进行讨论

解答 解：f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{a-1}{x}$+2ax=$\frac{2{ax}^{2}+a-1}{x}$，
①当a-1≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；
②当a≤0时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；
③当0＜a＜1时，令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$，
当x∈（0，$\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$）时，f′（x）＞0；
x∈（ $\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$，+∞）时，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，$\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$）上单调增加，在（ $\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$，+∞）单调减．

点评 本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，考查分类讨论思想，是一道中档题．