Question

若直线l：ax-by=1与不等式组

y＜1 3x-y-2＜0 3x+y+2＞0

表示的平面区域无公共点，则3a-2b的最小值与最大值的和等于

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用直线ax+by=1与平面区域无公共点建立条件关系，即可得到结论．

解答： 解：不等式组

y＜1 3x-y-2＜0 3x+y+2＞0

表示的平面区域是由A（-1，1），B（1，1），C（0，-2）围成的三角形区域（不包含边界）．
若直线l：ax-by=1与不等式组

y＜1 3x-y-2＜0 3x+y+2＞0

表示的平面区域无公共点，
则A，B，C三点在直线l的同侧或在直线上，
则满足

-a-b≥1 a-b≥1 2b≥1

或

-a-b≤1 a-b≤1 2b≤1

．
则（a，b）在如图所示的三角形区域．
设z=3a-2b，得b=

3

2

a-

z

2

，
平移直线b=

3

2

a-

z

2

，
得到直线在A处的截距最大，此时z最小，
则在B处的截距最小，此时z最大，
由

2b=1 a-b=1

解得

a= 3 2 b= 1 2

，即B（

3

2

，

1

2

），此时z=3×

3

2

-2×

1

2

=

7

2

，
由

2b=1 -a-b=1

，解得

a=- 3 2 b= 1 2

，即B（-

3

2

，

1

2

），此时z=3×（-

3

2

）-2×

1

2

=-

11

2

，
则3a-2b的最小值与最大值的和等于

7

2

-

11

2

=-2，
故答案为：-2．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．难度较大．