Question

在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意a∈R，a*0=a；
（2）对任意a，b，c∈R，（a*b）*c=（ab）*c+（a*c）+（b*c）-2c．
如：3*2=（3*2）*0=（3×2）*0+（3*0）+（2*0）-2×0=6+3+2-0=11．
关于函数f（x）=（2x）*

1

2x

的性质，有如下说法：
①函数f（x）的最小值为3；     
②函数f（x）的图象关于点（0，1）成中心对称；
③函数f（x）为奇函数；   
④函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-

1

2

)，  &(

1

2

，+∞)．
其中所有正确说法的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,命题的真假判断与应用,函数单调性的判断与证明

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：由新定义可得：函数f（x）=1+2x+

1

2x

．
①利用基本不等式即可判断出；
②判断f（-x）+f（x）=2是否成立；
③判断f（-x）+f（x）=0是否成立；
④利用导数解出f′（x）＞0即可．

解答： 解：由新定义可得：函数f（x）=（2x）*

1

2x

=（2x*

1

2x

）*0
=（2x•

1

2x

）*0+（2x*0）+（

1

2x

*0）-2×0
=1+2x+

1

2x

．
据此可得：
①当x＞0时，f（x）≥1+2

2x• 1 2x

=3，当且仅当x=

1

2

时取等号；同理可得：当x＜0时，f（x）≤1-2=-1．
∴①不正确；     
②∵f（-x）+f（x）=1-2x+

1

-2x

+1+2x+

1

2x

=2，
∴函数f（x）的图象关于点（0，1）成中心对称，因此正确；
③由②可知：f（-x）+f（x）≠0，可知：
函数f（x）不是奇函数，因此不正确；   
④由f′(x)=2-

1

2x2

=

2(x+ 1 2 )(x- 1 2 )

2x2

＞0，解得x＞

1

2

或x＜-

1

2

．
∴函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-

1

2

)，(

1

2

，+∞)，因此④正确．
综上可知：只有②④正确．
故选：C．

点评：本题综合考查了新定义、函数的单调性、奇偶性、对称性、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了解决新问题的能力，属于难题．