Question

4．已知直线l：y=k（x-1）交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y=x于点C，
（1）若k=3，求$\frac{{|{BC}|}}{{|{AC}|}}$的值；
（2）若|BC|=2|AC|，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出A，B，C的坐标，即可求$\frac{{|{BC}|}}{{|{AC}|}}$的值；
（2）直线l的方程为y=k（x-1），若|BC|=2|AC|，则|x_B-x_C|=2|x_A-x_C|，求出k，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）直线l的方程为y=3（x-1）．
令y=0，得A（1，0）．…（1分），令x=0，得B（0，-3）．…（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=x\\ y=3（{x-1}）\end{array}\right.$得${x_C}=\frac{3}{2}$…（3分）
$\frac{{|{BC}|}}{{|{AC}|}}=\frac{{|{{x_B}-{x_C}}|}}{{|{{x_A}-{x_C}}|}}=\frac{{|{\frac{3}{2}}|}}{{|{\frac{1}{2}}|}}=3$…（5分）
（2）直线l的方程为y=k（x-1）．
令y=0，得A（1，0）．令x=0，得B（0，-k）．…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=x\\ y=k（{x-1}）\end{array}\right.$得${x_C}=\frac{k}{k-1}$…（7分）
若|BC|=2|AC|，则|x_B-x_C|=2|x_A-x_C|…（8分）
∴$|{\frac{k}{k-1}}|=2|{1-\frac{k}{k-1}}|$…（9分）
∴解得k=±2…（11分）
∴所求直线l的方程为：2x-y-2=0或2x+y-2=0．…（12分）

点评 本题考查直线方程，考查直线与直线位置关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．