题目内容
10．
已知点F（1，0），动点M，N分别在x轴，y轴上运动，MN⊥NF，Q为平面上一点，$\overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{NF}=\overrightarrow 0$，过点Q作QP平行于x轴交MN的延长线于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹曲线E的方程；
（Ⅱ）过Q点作x轴的垂线l，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交曲线E于A，B两点（直线AB不过F），交l于C，D两点．若线段AB中点的轨迹方程为y2=2x-4，求△CDF与△ABF的面积之比．
分析 （Ⅰ）求出$\overrightarrow{MN}=（{x，\frac{y}{2}}）$，$\overrightarrow{NF}=（{1，-\frac{y}{2}}）$，利用$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{NF}=0$，可得求点P的轨迹曲线E的方程；
（Ⅱ）分类讨论，求出相应面积，即可求△CDF与△ABF的面积之比．
解答 解：（Ⅰ）设P（x，y），由N为Q，F的中点可得N为P，M的中点，则M，N分别为M（-x，0），$N（{0，\frac{y}{2}}）$$\overrightarrow{MN}=（{x，\frac{y}{2}}）$，$\overrightarrow{NF}=（{1，-\frac{y}{2}}）$，$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{NF}=0$，可得点P的轨迹方程为：y2=4x
（2）设直线AB与x轴的交点G（a，0），设$A（{\frac{y_1^2}{4}，{y_1}}）$，$B（{\frac{y_2^2}{4}，{y_2}}）$
设A，B中点为M（x，y），
当AB与x轴不垂直时，由kAB=kMG可得$\frac{4}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{y}{x-a}$
而$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=y$，则$\frac{4}{2y}=\frac{y}{x-a}$即y2=2（x-a），即a=2
当AB与x轴垂直时，A，B中点M与G（a，0）重合，适合方程．
由N为Q，F的中点，可知过Q点作x轴的垂线l即为y2=4x的准线，${S_{△CDF}}=\frac{1}{2}|{{y_1}-{y_2}}|•2$，${S_{△ABF}}=\frac{1}{2}|{{y_1}-{y_2}}|•|{a-1}|$=$\frac{1}{2}|{{y_1}-{y_2}}|•1$，
∴△CDF与△ABF的面积之比为2．
点评 本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
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如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=4，D为BB1上一点，E为AC上一点，且B1D=CE=1，BE=$\sqrt{7}$．| A． | {3} | B． | {x|$\frac{1}{2}$＜x≤1} | C． | {x|x＜1} | D． | {x|0＜x＜1} |
| A． | $（{-∞，-1}]∪[{0，2\sqrt{2}-1}]$ | B． | $[{-1，2\sqrt{2}-1}]$ | C． | （-∞，-1]∪（0，3] | D． | [-1，3] |
| A． | 2x+y-12=0 | B． | x+2y-12=0 | C． | 2x-y-4=0 | D． | x-2y+4=0 |
| A． | 第一象限 | B． | 第二象限 | C． | 第三象限 | D． | 第四象限 |