Question

16．设a，b，c＞0，则$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$（　　）

• A． 都不大于2
• B． 都不小于2
• C． 至少有一个不大于2
• D． 至少有一个不小于2

Answer 1

分析 三个数中$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$至少有一个不小于2．利用反证法与基本不等式的性质即可证明．

解答 解：三个数中$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$至少有一个不小于2．下面利用反证法证明：
a，b，c都是正数，假设三个数$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$都小于2．
则6＞a+$\frac{1}{b}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$=a+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+b+$\frac{1}{c}$+c≥$2\sqrt{a•\frac{1}{a}}$+2$\sqrt{b•\frac{1}{b}}$+2$\sqrt{c•\frac{1}{c}}$=6，当且仅当a=b=c=1时取等号．
即6＞6，矛盾，
因此假设不成立，
∴三个数$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$中至少有一个不小于2．
故选：D．

点评 本题考查了反证法与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．