Question

19．如果（3x-$\frac{1}{\root{3}{{x}^{2}}}$）ⁿ的展开式中各项系数之和为128，则展开式中$\frac{1}{{x}^{3}}$的系数是（　　）

• A． 21
• B． 14
• C． -14
• D． -21

Answer 1

分析 给二项式中的x赋值1，求出展开式的各项系数和，列出方程，求出n；将n的值代入二项式，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为-3，求出r的值，将r的值代入通项，求出展开式中$\frac{1}{{x}^{3}}$的系数．

解答 解：令x=1得展开式的各项系数之和2ⁿ，
∴2ⁿ=128，
解得n=7．
∴展开式的通项为（-1）^r•3^7-rC₇^rx${\;}^{7-\frac{5}{3}r}$
令7-$\frac{5}{3}$r=-3，
解得r=6．
所以展开式中$\frac{1}{{x}^{3}}$的系数是3C₇⁶=21．
故选A

点评 本题考查通过给二项式中的x赋值求展开式的系数和、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．