Question

8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，AD=2，CD=1，M为AD的中点，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=4，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BM}$=$-\frac{11}{3}$．

Answer 1

分析 首先由已知求出角A的余弦值，然后利用平面向量的三角形法则将$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BM}$用梯形的各边表示，展开分别求数量积即可．

解答 解：由已知得到cos∠A=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}}{AB×AD}=\frac{2}{3}$，
AB∥CD，AB=3，AD=2，CD=1，M为AD的中点，
若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=4，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BM}$=（$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$）（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}$）
=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}•\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$$+\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}•\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
=2×3×$（-\frac{2}{3}）$+$\frac{1}{2}×{2}^{2}$-1×3$+1×2×\frac{2}{3}$=$-\frac{11}{3}$；
故答案为：$-\frac{11}{3}$．

点评 本题考查了向量的数量积运算和向量的加减的几何意义，属于中档题