Question

11．已知函数f（x）=|x+1|+|x-3|，g（x）=a-|x-2|．
（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为$（b，\frac{7}{2}）$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出g（x）=a-|x-2|取最大值为a，f（x）的最小值4，利用关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为$（b，\frac{7}{2}）$，代入相应函数，求出a，b，即可求a+b的值．

解答 解：（Ⅰ）当x=2时，g（x）=a-|x-2|取最大值为a，
∵f（x）=|x+1|+|x-3|≥4，当且仅当-1≤x≤3，f（x）取最小值4，
∵关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，
∴a＞4，即实数a的取值范围是（4，+∞）．
（Ⅱ）当$x=\frac{7}{2}$时，f（x）=5，
则$g（\frac{7}{2}）=-\frac{7}{2}+a+2=5$，解得$a=\frac{13}{2}$，
∴当x＜2时，$g（x）=x+\frac{9}{2}$，
令$g（x）=x+\frac{9}{2}=4$，得$x=-\frac{1}{2}$∈（-1，3），
∴$b=-\frac{1}{2}$，则a+b=6．

点评 本题考查绝对值不等式，考查不等式的解法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．