Question

3．如图，以A、B、C、D、E为顶点的六面体中，△ABC和△ABD均为等边三角形，且平面ABC⊥平面ABD，EC⊥平面ABC，EC=$\sqrt{3}$，AB=2．
（1）求证：DE⊥平面ABD；
（2）求二面角D-BE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）作作DF⊥AB，交AB于F，连结CF．由△ABC和△ABD均为边长为2的等边三角形，得DF=$DF=\sqrt{3}$，DF=EC，于是 DE∥CF．由CF⊥平面△ABD，得DE⊥平面△ABD．
（2）由（1）知BF，CF，DF两两垂直，如图建系，则$F（{0，0，0}），B（{1，0，0}），D（{0，0，\sqrt{3}}），C（{0，\sqrt{3}，0}），E（{0，\sqrt{3}，\sqrt{3}}）$．
求出平面BDE的法向量、平面BCE的法向量，可得$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{4}$，即二面角D-BE-C的正弦值为$\frac{3}{4}$．

解答 解：（1）证明：作DF⊥AB，交AB于F，连结CF．因为平面ABC⊥平面ABD，
所以DF⊥平面ABC，又因为EC⊥平面ABC，从而DF∥EC，
因为，△ABC和△ABD均为边长为2的等边三角形，所以DF=$DF=\sqrt{3}$，因此DF=EC，
于是四边形DECF为平行四边形，所以DE∥CF．
因为△ABD是等边三角形，所以F是AB中点，而△ABC是等边三角形，
因此CF⊥AB，从而CF⊥平面△ABD，又因为DE∥FC，所以DE⊥平面△ABD．
     
（2）由（1）知BF，CF，DF两两垂直，如图建系，则$F（{0，0，0}），B（{1，0，0}），D（{0，0，\sqrt{3}}），C（{0，\sqrt{3}，0}），E（{0，\sqrt{3}，\sqrt{3}}）$．
设平面BDE的法向量$\overrightarrow m=（{x，y，z}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m?¤\overrightarrow{BD}=0\\ \overrightarrow m?¤\overrightarrow{BE}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}-x+\sqrt{3}z=0\\-x+\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0\end{array}\right.$，令x=3得，平面BDE的法向量$\overrightarrow m=（{3，0，\sqrt{3}}）$；
同理可求得平面BCE的法向量$\overrightarrow n=（{3，\sqrt{3}，0}）$，
所以$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{4}$，即二面角D-BE-C的余弦值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了空间线面位置关系的判定，向量法求二面角，属于中档题，