题目内容
已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数m、n，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，并且x＞0时，恒有f（x）＞1
（1）求证：f（x）在定义域R上是单调递增函数；
（2）若f（3）=4，解不等式f（a2+a-5）＜2．
（1）求证：f（x）在定义域R上是单调递增函数；
（2）若f（3）=4，解不等式f（a2+a-5）＜2．
考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质
专题：综合题,函数的性质及应用
分析：（1）定义法：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1），由已知可判断其符号；
（2）令m=n=1可求得f（2），进而可得f（1）=2，利用单调性可去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式．
（2）令m=n=1可求得f（2），进而可得f（1）=2，利用单调性可去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式．
解答：
（1）证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0，
∴f（x2-x1）＞1，
又f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）
=f（x2-x1）+f（x1）-1-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）是R上的增函数．
（2）解：∵m，n∈R，不妨设m=n=1，
∴f（1+1）=f（1）+f（1）-1，即f（2）=2f（1）-1，
f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-1=2f（1）-1+f（1）-1=3f（1）-2=4，
∴f（1）=2，
∴f（a2+a-5）＜2=f（1），
∵f（x）在R上为增函数，∴a2+a-5＜1，解得-3＜a＜2，
∴a∈（-3，2）．
∴f（x2-x1）＞1，
又f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）
=f（x2-x1）+f（x1）-1-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）是R上的增函数．
（2）解：∵m，n∈R，不妨设m=n=1，
∴f（1+1）=f（1）+f（1）-1，即f（2）=2f（1）-1，
f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-1=2f（1）-1+f（1）-1=3f（1）-2=4，
∴f（1）=2，
∴f（a2+a-5）＜2=f（1），
∵f（x）在R上为增函数，∴a2+a-5＜1，解得-3＜a＜2，
∴a∈（-3，2）．
点评：本题考查抽象函数单调性的判断、抽象不等式的求解，考查转化思想，抽象函数的单调性常用定义解决，抽象不等式的求解往往转化为具体不等式处理．
练习册系列答案
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某人年初向银行贷款a元用于购房，银行贷款的年利率为r，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金），若这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且从借款后次年年初开始归还，则每年应还（ ）元．
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
设全集U={1，2，3，4，5}，集合S={1，2，3，4}，则∁US=（ ）
| A、{5} |
| B、{1，2，5} |
| C、{2，3，4} |
| D、{1，2，3，4} |
若函数f（x）在区间（a，b）上是增函数，在区间（b，c）上也是增函数，则函数f（x）在区间（a，b）∪（b，c）上（ ）
| A、必是增函数 |
| B、必是减函数 |
| C、是增函数或减函数 |
| D、无法确定单调性 |
如图，A，F分别是双曲线