Question

如图，A，F分别是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a，b＞0)的左顶点、右焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点．若AP⊥AQ，则C的离心率是（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、

  1+ 13

  4

• D、

  1+ 17

  4

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由已知条件求出直线l的方程为：y=-

a

b

x+

ac

b

，直线l：y=-

a

b

x+

ac

b

与y=-

b

a

x联立，能求出P点坐标，将x=0带入直线l，能求出Q点坐标，由AP⊥AQ，知k_AP•k_AQ，由此入手能求出双曲线的离心率．

解答： 解：∵A，F分别是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a，b＞0)的左顶点、右焦点，
∴A（-a，0）F（c，0），
∵过F的直线l与C的一条渐近线垂直，
且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点，
∴直线l的方程为：y=-

a

b

x+

ac

b

，
直线l：y=-

a

b

x+

ac

b

与y=-

b

a

x联立：

y=- a b x+ ac b y=- b a x

，解得P点（

a2c

a2-b2

，

abc

b2-a2

）
将x=0带入直线l：y=-

a

b

x+

ac

b

，得Q（0，

ac

b

），
∵AP⊥AQ，∴k_AP•k_AQ=

abc b2-a2

a2c a2-b2 +a

×

ac b

a

=-1，
化简得b²-ac-a²=-c²，
把b²=c²-a²代入，得2c²-2a²-ac=0
同除a²得2e²-2-e=0，
∴e=

1+ 17

4

，或e=

1- 17

4

（舍）．
故选：D．

点评：本题考查双曲线的离心率的求法，计算量较大，解题时要仔细解答，要熟练掌握双曲线的性质，是中档题．