Question

已知向量

m

=（cosx+sinx，2cosx），

n

=（cosx-sinx，-sinx）．
（1）求f（x）=

m

•

n

的最小正周期和单调减区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

8

个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f（

A

2

）=0，g（B）=

2

2

，b=2，求a的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）向量

m

=（cosx+sinx，2cosx），

n

=（cosx-sinx，-sinx）．f（x）=

m

•

n

=COS2x-sin2x=

2

sin（2x+

3π

4

），运用三角函数的图象的性质求解．
（2）利用函数图象平移求出g（x）解析式，代入利用已知条件求解．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（cosx+sinx，2cosx），

n

=（cosx-sinx，-sinx）．f（x）=

m

•

n

=COS2x-sin2x=

2

sin（2x+

3π

4

），
∴函数的周期为

2π

2

=π，
∵2kπ+

π

2

≤2x+

3π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈z，∴kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈z，
所以函数的周期为

2π

2

=π，[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈z

（2）∵将函数y=f（x）的图象向右平移

π

8

个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
∴g（x）=

2

cosx，∵f（

A

2

）=0，g（B）=

2

2

，b=2，∴

2

sin（A+

3π

4

）=0，

2

COSB=

2

2

，
∵在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，
∴A=

π

4

，B=

π

3

∵，b=2∴

a

sinA

=

b

sinB

得：

a

2 2

=

2

3 2

，即a=

2 6

3

，

点评：本题考查了向量在三角函数中的应用，结合正弦定理，三角函数的图象性质解决问题．