Question

已知二次函数y=f（x）满足f（0）=1且有f（x+1）=f（x）+2x．
（1）求f（x）；
（2）设g（x）=f（x）+mx在[-1，2]上是单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设出二次函数的解析式由f（0）=1可求c=1，再由f（x+1）=f（x）+2x构造方程组可求a、b的值，可得答案．
（2）函数g（x）=f（x）+mx=x²-（1-m）x+1的图象是开口朝上，且以直线x=

1-m

2

为对称轴的抛物线，若g（x）在[-1，2]上是单调函数，则

1-m

2

≤-1，或

1-m

2

≥2，进而可得实数m的取值范围．

解答： 解：（1）设y=f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x，
∴c=1且a（x+1）²+b（x+1）+c=（ax²+bx+c）+2x，
∴2a=2，a+b=0，
解得a=1，b=-1，
函数f（x）的表达式为f（x）=x²-x+1．
（2）∵g（x）=f（x）+mx=x²-（1-m）x+1的图象是开口朝上，且以直线x=

1-m

2

为对称轴的抛物线，
若g（x）在[-1，2]上是单调函数，
则

1-m

2

≤-1，或

1-m

2

≥2，
解得：m∈（-∞，-3]∪[3，+∞）

点评：本题考查利用待定系数法求函数模型已知的函数解析式，二次函数的单调性，难度不大，属于基础题．