已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$.且P(0.1)是椭圆C上的点.F是椭圆的右焦点．(Ⅰ)求椭圆C的方程,(Ⅱ)过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆C交于A.B两点.线段AB的中点为M.O为坐标原点.直线OM的斜率kOM=-$\frac{1}{2}$.求直线l的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且P（0，1）是椭圆C上的点，F是椭圆的右焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM的斜率k_OM=-$\frac{1}{2}$，求直线l的方程．

分析（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，则b=1，利用椭圆的离心率公式，即可求得a的值，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，求得M点坐标，利用直线的斜率公式，即可求得k的值，求得直线l的方程．

解答解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，b²=a²-c²=c²，
由椭圆的焦点在x轴上，由P（0，1）是椭圆上一点，
则b=1，c²=1，a²=2，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知F（1，0），设直线AB的方程：y=k（x-1），（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
则y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=-$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$，x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$，
则M（$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，-$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$），
∴直线OM的斜率k_OM=-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{2k}$=-$\frac{1}{2}$，解得：k=1，
∴直线l的方程：x-y-1=0．