Question

5．已知函数p（x）=lnx-x+4，q（x）=$\frac{{a{e^x}}}{x}（{a∈R}）$．
（1）若函数y=p（x），y=q（x）的图象有平行于坐标轴的公切线，求a的值；
（2）若关于x的不等式p（x）-4＜q（x）的解集中有且只有两个整数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出切线斜率，得到关于a的方程，解出即可；
（2）分离参数a，令$h（x）=\frac{{xlnx-{x^2}}}{e^x}$，求出函数的导数，求出函数的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）由题知p'（x）=q'（x），即$\frac{1-x}{x}=\frac{{a{e^x}（{x-1}）}}{x^2}$，
当x=1£?p'（1）=q'（1）=0，即x=1是y=p（x），y=q（x）的极值点，
所以公切线的斜率为0，所以p（1）=q（1），lnl-1+4=ae，可得$a=\frac{3}{e}$．
（2）p（x）-4＞q（x）等价于$lnx-x＜\frac{{a{e^x}}}{x}，a＞\frac{{xlnx-{x^2}}}{e^x}$，
令$h（x）=\frac{{xlnx-{x^2}}}{e^x}$，则$h'（x）=\frac{{（{x-1}）（{x-1-lnx}）}}{e^x}$，
令φ（x）=x-lnx-1，则$φ'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，
即φ（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）单调递增．
φ（x）_min=φ（1）=0，∴φ（x）≥0恒成立，
所以h（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）单调递增．
$h{（x）_{min}}=h（1）=\frac{-1}{e}，h（1）＜h（2）=\frac{2ln2-4}{e^2}＜h（3）=\frac{3ln3-9}{e^3}$，
因为解集中有且只有两个整数$\frac{2ln2-4}{e^2}＜a≤\frac{3ln3-9}{e^3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道综合题．