Question

定义在（0，+∞）上函数f（x）满足对任意x，y∈（0，+∞），都有xyf（xy）=xf（x）+yf（y），记数列a_n=f（2ⁿ），有以下命题：①f（1）=0； ②a₁=a₂； ③令函数g（x）=xf（x），则g（x）+g（

1

x

）=0；④令数列b_n=2ⁿ+a_n，则数列（b_n）为等比数列；其中真命题的为

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：令x=y=1代入所给的式子求出f（1）的值，并判断①真假；令x=y=2代入式子化简，再结合数列的通项公式进行判断②的真假；令y=

1

x

代入式子化简后，再由函数g（x）的解析式转化，判断③真假；利用{b_n}的通项公式分别求出b₁、b₂、b₃，令x=2，y=4代入式子化简后，再由等比数列的定义判断④真假．

解答： 解：令x=y=1，代入xyf（xy）=xf（x）+yf（y）得，f（1）=0，①正确；
令x=y=2，得4f（4）=2f（2）+2f（2），即f（4）=f（2），
又由a_n=f（2ⁿ）得，a₁=f（2），a₂=f（4），则a₁=a₂，②正确；
令y=

1

x

，得f（1）=xf（x）+

1

x

f（

1

x

），
由g（x）=xf（x），得g（x）+g（

1

x

）=f（1）=0，③正确；
由b_n=2ⁿ+a_n，得b₁=2+a₁，b₂=4+a₂，b₃=8+a₃，而a₁=a₂，a₃=f（8），
令x=2，y=4，得8f（8）=2f（2）+4f（4），
化简得，f（8）=

3

4

f（2），即a₃=

3

4

a₂=

3

4

a₁，
显然b₁、b₂、b₃不是等比数列中的项，所以数列{b_n}不是等比数列，④错．
故答案为：①②③．

点评：本题考查了抽象函数，及数列通项公式和等比数列定义的应用，此题的关键是根据条件正确给x和y值，利用恒等式进行求解，考查了解决抽象函数问题常用的方法：赋值法．