Question

抛物线y²=8x的顶点为O，A（1，0），过焦点且倾斜角为

π

4

的直线l与抛物线交于M，N两点，则△AMN的面积是

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则S=

1

2

|AF|•|y₁-y₂|．直线为x-y-2=0，即x=2+y，代入y²=8x得：y²-8y-16=0，由此能求出△OPQ的面积

解答： 解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则S=

1

2

|AF|•|y₁-y₂|．
过抛物线y²=8x的焦点（2，0），倾斜角为

π

4

的直线为x-y-2=0，
即x=2+y，代入y²=8x得：
y²=8（2+y），即y²-8y-16=0，∴y₁+y₂=8，y₁y₂=-16，
∴|y₁-y₂|=

64+64

=8

2

，
∴S=

1

2

|AF|•|y₁-y₂|=4

2

．
故答案为：4

2

．

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，在涉及焦点弦的问题时常需要把直线与抛物线方程联立利用韦达定理设而不求，进而利用抛物线的定义求得问题的答案．