Question

13．在平面直角坐标系xOy中，设直线x-y+2$\sqrt{2}$=0与圆x²+y²=r²（r＞0）交于A、B两点，其中O为坐标原点，C为圆上一点，若$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，则r=4．

Answer 1

分析 由已知得r²=r²+r²+2r²cos∠AOB，从而∠AOB=120°，求出圆心（0，0）到直线x-y+2$\sqrt{2}$=0的距离，由此能求出半径r．

解答 解：∵直线x-y+2$\sqrt{2}$=0与圆x²+y²=r²（r＞0）交于A、B两点，其中O为坐标原点，C为圆上一点，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，
∴${\overrightarrow{OC}}^{2}={\overrightarrow{OA}}^{2}+{\overrightarrow{OB}}^{2}+2\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}•cos∠AOB$，
∴r²=r²+r²+2r²cos∠AOB，
解得∠AOB=120°，
∵圆心（0，0）到直线x-y+2$\sqrt{2}$=0的距离d=$\frac{|0-0+2\sqrt{2}|}{\sqrt{1+1}}$=2，
∴r=2d=4．
故答案为：4．

点评 本题考查圆的半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．