Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A，F分别为椭圆C的左顶点和右焦点，过F的直线l交椭圆C于点P，Q．若AF=3，且当直线l⊥x轴时，PQ=3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AP，AQ的斜率分别为k₁，k₂，问k₁k₂是否为定值？并证明你的结论；
（3）记△APQ的面积为S，求S的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,压轴题,探究型,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：对第（1）问，由AF=3，PQ=3，及a²=b²+c²可求得a²，b²；
对第（2）问，可先设直线PQ的方程与P，Q的坐标，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理建立交点坐标的关系，将k₁k₂用坐标表示，再探求定值的存在性；
对第（3）问，根据S_△APQ=

1

2

AF•|y1-y2|，将|y₁-y₂|用参数m表示，从而得到面积关于m函数，根据此函数的形式特点，可求得面积的最大值．

解答： 解：（1）设椭圆的右焦点为F（c，0），c＞0，则a²=b²+c²，…①
由AF=3，得a+c=3，…②
又当直线l⊥x轴时，P，Q的横坐标为c，将x=c代入

x2

a2

+

y2

b2

=1中，得y=±

b2

a

，
则PQ=

2b2

a

=3，…③
联立①②③，解得a²=4，b²=3，c²=1，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．                   
（2）k₁k₂为定值-

1

4

．证明如下：
显然，直线PQ不与y轴垂直，可设PQ的方程为x=my+1，
联立椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1，消去x并整理得（3m²+4）y²+6my-9=0，
又设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由韦达定理得

y1+y2=- 6m 3m2+4 y1y2= -9 3m2+4

从而x₁+x₂=（my₁+1）+（my₂+1）=

8

3m2+4

，x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=

-12m2+4

3m2+4

，
所以k1k2=

y1y2

(x1+2)(x2+2)

=

y1y2

x1x2+2(x1+x2)+4

=

-9 3m2+4

-12m2+4 3m2+4 + 16 3m2+4 +4

=

-9

36

=-

1

4

，
即k1k2=-

1

4

，故得证．                      
（3）由（2）知，

y1+y2=- 6m 3m2+4 y1y2= -9 3m2+4

所以S=

1

2

AF•|y1-y2|=

3

2

|y1-y2|=

3

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

3

2

(- 6m 3m2+4 )2+ 36 3m2+4

=18

m2+1 (3m2+4)2

=18

m2+1 9(m2+1)2+6(m2+1)+1

=18

1 9(m2+1)+ 1 m2+1 +6

．
令t=m²+1，t≥1，
则S=

18

9t+ 1 t +6

（t≥1），设函数g(t)=9t+

1

t

（t≥1），
由(9t+

1

t

)′=9-

1

t2

=

9t2-1

t2

＞0知，g（t）在[1，+∞）上为增函数，
得t=1，即m=0时，[g(t)]min=9×1+

1

1

=10，
此时S取得最大值为

18

10+6

=

9

2

．

点评：1．求椭圆的方程，只需确定a²，b²，需要建立关于a，b，c的三个不同的方程．
2．要获得定值，往往需要消参，韦达定理的运用，体现了“设而不求”的思想．
3．面积的最值问题，一般转化为函数最值问题来处理．常利用函数的单调性求最值，考虑导数方法来研究函数的单调性，过程显得更为简洁．