题目内容

11.已知常数ω>0,f(x)=-1+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为$\frac{π}{4}$,若f(x0)=$\frac{6}{5}$,$\frac{π}{4}$≤x0≤$\frac{π}{2}$,则cos2x0=(  )
A.$\frac{3+2\sqrt{3}}{10}$B.$\frac{3-2\sqrt{2}}{10}$C.$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$D.$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$

分析 将函数f(x)化简成只有一个函数名,对称中心得到对称轴的距离的最小值为$\frac{π}{4}$,可得T=π.根据f(x0)=$\frac{6}{5}$,$\frac{π}{4}$≤x0≤$\frac{π}{2}$,求出x0,可得cos2x0的值.

解答 解:由f(x)=-1+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+2cos2ωx,
化简可得:f(x)=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ωx=2sin(2ωx+$\frac{π}{6}$)
∵对称中心得到对称轴的距离的最小值为$\frac{π}{4}$,
∴T=π.
由$T=\frac{2π}{2ω}=π$,
可得:ω=1.
f(x0)=$\frac{6}{5}$,即2sin(2x0+$\frac{π}{6}$)=$\frac{6}{5}$
∵$\frac{π}{4}$≤x0≤$\frac{π}{2}$,
∴$\frac{2π}{3}$≤2x0+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$
∴sin(2x0+$\frac{π}{6}$)=$\frac{3}{5}$>0
∴cos(2x0+$\frac{π}{6}$)=$-\frac{4}{5}$.
那么:cos2x0=cos(2x0+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$)=cos(2x0+$\frac{π}{6}$)cos$\frac{π}{6}$+sin(2x0+$\frac{π}{6}$)sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$
故选D

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.

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