Question

16．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，当n≥2时，a_n=2a_nS_n-2S_n²．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正数k，使（1+S₁）（1+S₂）…（1+S_n）≥k$\sqrt{2n+1}$对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由数列的性质对其经行变形整理出可以判断数列为等差数列的形式即可，求出S_n，再根据a_n=S_n-S_n-1，即可求出数列的通项公式，
（2）先构造函数f（n）并判断其单调性，然后再由函数的单调性解决函数恒成立的，求出参数k的取值范围．

解答 解：（1）∵当n≥2时，a_n=2a_nS_n-2S_n²，
∴a_n=$\frac{2{S}_{n}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，n≥2，
∴（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=2S_n²，
∴S_n-S_n-1=2S_nS_n-1，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$2，n≥2，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}}$=1为首项，以2为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$，
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n-3}$=-$\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$，
∵a₁=S₁=1，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1．n=1}\\{-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}，n≥2}\end{array}\right.$，
（2）设f（n）=$\frac{（1+{S}_{1}）（1+{S}_{2}）…（1+{S}_{n}）}{\sqrt{2n+1}}$，
则$\frac{f（n+1）}{f（n）}$=$\frac{2n+2}{\sqrt{2n+1}•\sqrt{2n+3}}$=$\frac{\sqrt{4{n}^{2}+8n+4}}{\sqrt{4{n}^{2}+8n+3}}$＞1，
∴f（n）在n∈N*上递增，
要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）_min≥k，
∵f（n）_min=f（1）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴0＜k≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查了等差数列通项与前n项和的关系以及述略与不等式相结合的有关问题，第二问中转化为函数来判断单调性都需要较高的知识组合能力以及较高的观察能力．